“上同调群”是讨论流形闭链（可以想成高维的闭圈）以及它们彼此相交的理论，闭链与流形之中没有边界的子流形有关。

    想理解子流形的意思，可以想象一个切成球状的瑞士起司，整个球状的起司块可以想成一个三维空间，而它的内部则可能有上百个洞孔，这些洞的壁面就是子流形，某些可以从外包覆，有些可以用橡皮筋在里面绕一圈。

    子流形是有精确形状和大小的几何形体，但对物理学家来说，闭链则是一种基于拓扑考虑，不需要那么明确定义的物件，大部分几何学家将闭链视为广义的子流形。

    虽然如此，我们可以将闭链想成类似绕甜甜圈一圈的闭圈，借以得到流形的拓扑信息。

    物理学家有一套方法，为给定的流形指定一个量子场论。

    流形通常有无穷多个闭链，物理学家用一种逼近法将闭链数降到有限个、因此也比较容易处理的值。

    这样的过程称为“量子化”（quantization），将本来有无穷多可能的设定变成只有几个容许值（就好像广播电台的频率）。

    这个过程必须对原来的方程式做量子修正，又因为这是一组关于闭链的方程，因此是关于上同调群的方程，所以我才为它取名为量子上同调群。

    不过做量子修正的方法并不是只有一种，幸好有镜对称，对于给定的卡拉比—丘流形，可以得到与它物理性质相同的镜伴流形。

    这个镜伴流形有两种描述方式，来自两个看起来很不同但基本上等价的弦论版本：2a理论和2b理论，它们所描述的量子场论是相同的。

    在b模型时，做量子修正的计算相对简单，而且量子修正为零；而a模型实质上是不可能计算的，量子修正也不是零。

    德拉姆发现了一种上同调结构。

    这是结合了代数拓扑和微分拓扑的工具。

    代数拓扑本是用群论来研究拓扑空间的。

    微分拓扑是研究微分流形和可以微分映射的数学分支。

    德拉姆把它们结合后，找到了能适合计算和用具体上同调类的方法表达关于光滑流形的基本拓扑信息。

    霍奇得知之后，就想用这种工具研究光滑流形，光滑就是这个流形是处处可以微分的。

    霍奇主要就是研究光滑流形m的实数上同调群在m上的黎曼度量，使用的工具就是很多个拉普拉斯算子和偏微分算子。

    这两种算子也就是可以反映光滑流形的表面和内里的形状变化的。

    这就是霍奇理论，到1941年的霍奇理论由魏尔（weyl）和小平邦彥（kodaira）整理完成。