calabi-yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家candelas等人通过研究不同的calabi-yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（schubert）计数问题。

    大概在格林恩与普列瑟的论文发表一年后，镜对称的下一步发展攫取了数学社群的注目。

    坎德拉斯、德拉欧萨（xeniadelaossa）、保罗·葛林（paulgreen，马里兰大学）、帕克斯（lindaparks）四人证明了，镜对称可以帮忙解决一个代数几何学与“枚举几何学”（enumerativegeometry）中的难题，这是超过数十年未解的问题。

    坎德拉斯团队所研究的是五次三维形的问题，这个问题也称为舒伯特问题，舒伯特（hermannschubert）是19世纪的德国数学家，他解决了这个难题的第一部分。

    所谓舒伯特问题是计数在五次卡拉比—丘流形上“有理曲线”（rationalcurve）的数目，其中有理曲线是像球面一样，亏格为零或没有洞的曲线（实二维曲面）。

    计数这些东西听起来像是种古怪的消遣，但如果你是个枚举几何学家，那么这就是你每天的主要工作。

    不过这个工作丝毫不简单，绝不像把罐子中的太妃糖倒到桌上数一数而已。

    如何计数流形上的物件；如何为问题找到正确架构，使得计数所得到的值有用，百余年来一直是数学家的挑战。

    举例来说，如果想让最后计数出来的数值是有限而不是无限的话，我们能计数的对象就必须是紧致空间，而不能像是平面那样的空间。

    又例如要计数的是曲线的交点数，这时相切（轻触彼此）的情形就会造成麻烦。

    枚举几何学家发展了许多技术来处理这些情况，希望最终的结果是离散的数。

    这类问题最早的例子出现于公元前200年左右，希腊数学家阿波罗尼斯（apolloniusofperga）曾经提问说：“给定三个圆，有多少圆可以同时和这三个圆相切？”这个问题的一般答案是八，并且可以用直尺与圆规来解答。

    但是要解决舒伯特问题，则需要更精密的计算技巧。

    数学家处理这个难题的方式是逐步处理，每一步只处理一个固定的“次数”（degree）。

    这里所谓次数，指的是描述曲线的多项式中各项的最高次数。

    例如4x2-5y3是三次多项式，6x3y2+4x是五次（x和y的次数要加起来），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等于零（2x+3y-4=0），就可以定义一条线。

    因此这个问题是先取出五次三维形，指定有理曲线的次数，然后问说有多少这样的曲线。

    舒伯特解出了次数是一的情况，他证明五次三维形有2875条线。

    大概一个世纪之后的1986年，现在任职于伊利诺斯大学的卡兹（sheldonkatz）解出二次的情况，二次有理曲线数等于609250。

    坎德拉斯、德拉欧萨、葛林、帕克斯解决的是三次的情形。不过他们的解法运用了镜对称的想法，因为想要直接在五次卡拉比—丘流形上解这个问题极端困难，但格林恩与普列瑟所构造的镜伴流形，提供了容易得多的解题框架。

    事实上，在格林恩与普列瑟关于镜对称的原来论文中，就已经指出这个基本的思路。他们说明汤川耦合这个物理量，可以用两种差异很大的数学公式来表示，一种来自原来的流形，另一种来自镜流形。一个公式牵涉流形中不同次数的有理曲线数，根据格林恩的说法，计算起来绝对是很“恐怖”的事情；另一个公式则牵涉流形的形状，相较起来要简单得多。然而因为这一对镜流形描述的是相同的物理性质，因此结果必须相等。这就像“狗”和“犬”两字看起来不同，描述的却是同一种覆毛的动物。格林恩与普列瑟的论文中有一个方程式，明确说明这两组看起来长相各异的公式其实是相等的。格林恩说：“你可以有一个抽象上已知正确的公式，但是想把方程式计算到适当的精确度以得出数值，却是很大的挑战。我们有方程式，却没有从它提炼出数值的工具。而坎德拉斯和他的合作者发明出这项工具，这是很大的成就，对几何学也有很大的影响。”

    19世纪几何学的重要结果之一是凯利（arthurcayley）与赛尔曼（georgesalmon）的研究，它们证明在所谓的“三次曲面”上共有27条直线。舒伯特后来推广了这个凯利—赛尔曼定理。（

    这个想法阐明了镜对称的潜力。我们或许不需要再去烦恼卡拉比—丘空间中曲线数量的计数，因为另外有一种和计数这种苦差事比起来很不一样的计算方式，也可以获得相同的答案。坎德拉斯团队运用这个想法，计算了五次三维形中三次有理曲线的数目，结果答案是317206375。

    计数这些有理曲线的目的，并不仅止于该数值，而是放眼于整个流形的结构。因为在计数的同时，基本上我们是以成熟的数学技巧在移动这些曲线，直到过程涵盖整个空间。在这样的过程中，我们其实是利用这些曲线来定义这个空间，不管它是五次三维形或其他空间都适用。

    计数曲面上的直线或曲线数，是代数几何学与枚举几何学中的常见问题。想知道曲面上的直线的样子，可看看图中这个双直纹双曲面，它是由一系列的直线所完全构成的，而它之所以称为双直纹，是因为曲面上每一点都有两条直线通过。不过对于枚举几何学来说，这样的曲面并不是好例子，因为上面的直线数是无穷多。

    这些结果的整体效果，让一个垂死的几何学分支乍然苏醒。根据美国加州大学圣地亚哥分校的数学家马克·格罗斯（markgross）的看法，坎德拉斯团队领先运用镜对称的想法，解决了这个枚举几何学的难题，导致整个领域获得重生。“当时这个领域基本上已经死了，”格罗斯说，“当旧问题解决之后，人们有时回头用数学的新技术来计算舒伯特数，但是这些方法并无新意。”然后完全出乎意料的，“坎德拉斯带来了新方法，是远远超出舒伯特所能想象的方法。”物理学家曾经迫切地从数学借用许多材料，然而当数学家倒过来要跟物理借用资源时，他们却要求先看到坎德拉斯方法严格性的更多证明。