2011年，舒尔茨提前完成了毕业论文，并将它交给了导师拉波波特。

    舒尔茨在这篇论文里，首次提出了状似完备空间(perfectoidspace)的概念，把之前由法尔廷斯等人开创的一系列基础理论系统化，

    舒尔茨开始了在算术几何领域的科研生涯，这个领域使用几何工具来研究多项式方程的整数解，例如xy+3y=5这种方程的整数解。

    对于这种类型的一些方程，研究它们在被称为p进数(p-adicnumber)的数域中的解有着丰硕成果。

    p进数和实数一样是通过填补整数和有理数之间的间隙构造的（通常称其为完备化），但是关于“这些间隙之中什么样的数是彼此接近”的的概念和通常理解不同：在p进数当中，两个数的差是小的并不能说明它们是接近的，实际上只有它们之间的差可以被p整除足够多次，它们才被认为是接近的。

    这是一个奇怪的判断依据，但它是有用的。

    以3进数为例，它提供了一种自然的方式去研究形如x=3y的方程，因为在其中有着3这样一个关键的因子。

    舒尔茨说，p进数“和我们的通常感觉差别很大”。

    但是这些年来它们对他来说变得很自然。“如今我认为实数比p进数要难以捉摸得多。我和p进数相处得太久了，以至于现在实数对于我来说显得非常陌生。”

    数学家们在1970年代注意到，如果通过构造一个以p进数为底且每一层环绕下面一层p次的无穷的数系的塔来扩张p进数，许多关于p进数的问题会变得更加容易。

    在这个无穷的塔的“顶部”的数域是一个“分形”的对象，这也是舒尔茨之后发展的状似完备空间理论的最简单的例子。

    舒尔茨给他自己布置了这样一个任务：理清为什么这种无穷环绕的构造能使如此多的有关p进数和多项式的问题变得简单。“我尝试理解这种现象的内核，”他说，“但是并没有能解释它的一般性理论。”

    他最终意识到，给很多种数学结构构造出状似完备空间是可行的。

    他证明了这些状似完备空间能够将关于多项式的问题从p进数的世界转移到一个不同的数学世界，在其中算术变得更加简单（例如，在做加法时不需要进位）。“状似完备空间最怪异的性质是它们可以在两个数域间魔术般地移动。”韦恩斯坦说。

    这一想法促使舒尔茨部分证明了一个被称为权重单值性猜想（weight-monodromyconjecture）的复杂问题。

    尽管状似完备空间的理论极其复杂，但舒尔茨的讲座和论文以清晰而闻名。韦恩斯坦称：“在舒尔茨向我解释前，我什么也不理解。”

    卡拉亚尼说，每当舒尔茨阐述他的想法，总是想方设法降低难度，试图让那些研究生新生水平人能够理解。“在他的想法中有一种开放和包容的感觉，”她说，“并且他不仅仅和部分资深专家交流想法，实际上一大批的年轻人都有机会与其接触。”卡拉亚尼认为舒尔茨友好且平易近人的举止使得他成为该领域的理想领袖。她提到有一次当她和舒尔茨在与一群数学家进行艰难的“远足”时，他是那个四处奔跑来确保每个人都能跟上的人。

    尽管有了舒尔茨的解释，状似完备空间对于其他学者而言仍然是难以驾驭的，赫尔曼说：“如果你离他描绘的道路偏离了一点，那你就会发现自己处于如同丛林中央一般的困境。”但他认为舒尔茨本人“永远不会在丛林中迷失，因为他从未打算在丛林里纠缠。他总是在为了某种清晰明了的概念而寻找俯瞰整个丛林的视角。”

    舒尔茨通过强迫自己飞过丛林里的藤蔓来避免被它们所困：就像他大学时一样，他喜欢不写下任何东西来工作。那样他就必须用最清晰的方法来阐明他的想法，他说：“你的大脑只有有限的能力，因此不能在其中做太过复杂的事。”

    当其他数学家正开始尝试理解状似完备空间时，舒尔茨和他的合作者已经毫不意外的利用它做出最深刻的发现了。在2013年，他在网上贴出的一个结果“着实让学界震惊”，韦恩斯坦说，“我们都没有意识到这样一个定理即将诞生。”

    舒尔茨的结果扩大了互反律的适用范围。互反律用“时钟的算术”（这个时钟不一定是12小时制的）来处理多项式的性质。“时钟的算术”（例如对于有12个小时的时钟，5+8=1）是数学中最自然且被广泛研究的有限数系。

    互反律是有着200年历史的二次互反律的推广，而二次互反律是数论的奠基石，也是舒尔茨本人最喜欢的定理之一。这条定律陈述了给定两个素数p和q，在大多数情况下，p在有q个小时的时钟上是一个完全平方数当且仅当q是在有p个小时的时钟上的完全平方数。例如，因为5=16=4，5在有11小时的时钟上是平方数，而由于11=1=1，11在有5小时的时钟上也是平方数。

    “我认为这令人震惊，”舒尔茨说，“从表面看来这两者似乎毫无关联。”

    “你可以把很多的现代代数数论解释为是对推广这一定律的尝试。”韦恩斯坦说。

    20世纪中叶，数学家们发现了互反律和似乎完全不同的主题之间的惊人联系：研究诸如埃舍尔(m.c.escher)著名的“天使与恶魔”的“双曲”几何。这一联系是“朗兰兹纲领”的核心部分，这一纲领是一些揭示数论、几何与分析之间关系的定理与猜想的合集。如果这些猜想能够被证明，我们通常能得到具有强大威力的工具。比如费马大定理的证明能够被归结于解决朗兰兹纲领的一个小部分（看出这个联系也很难）。

    数学家们逐渐意识到朗兰兹纲领已经远远超出了双曲圆盘：它也可以在高维的双曲空间和其他情况下的簇中被研究。如今舒尔茨展示了如何把朗兰兹纲领延伸到“双曲三维空间”（一种双曲圆盘的三维类比）中的很多结构。通过构造一个状似完备空间版本的双曲三维空间，舒尔茨发现了一系列全新的互反律。

    “舒尔茨的工作完全地改变了我们对能做到的和可能做到的事的看法。”卡拉亚尼说。

    韦恩斯坦称舒尔茨的成果表明朗兰兹纲领“比我们所想象的还要深刻...它更加系统化，它无所不包”。

    和舒尔茨讨论数学就如同寻求一条“先知的预言”，韦恩斯坦认为。“如果他说：“是，这可以。”那么你可以对它抱有信心；反之你则应该立刻放弃；如果他说他不知道——他确实也有不知道的时候——那么你很幸运，因为你手中有了一个有趣的问题。”

    卡拉尼亚说，与舒尔茨的合作并不是像预想中一样压抑的经历。当她与舒尔茨合作时，从来没有一丝紧迫感，她说：“感觉就像我们总是走在正确的路上——用最好的方法证明了我们能得到的最一般性的定理，总是正确地做出了关键的构造。”

    不过曾有一次，舒尔茨本人确实很又紧迫感——在2013年年底，他需要在他女儿的出生前的短暂时间，去把一篇论文写完。他说，推动给自己工作是件好事，“在之后，我就没什么事情需要完成了。”

    舒尔茨说，成为一个父亲迫使他在时间管理上更加严格。但是他无需担心科研受到影响——数学填补了他其他家务事之间的空隙。“我想数学是我的激情所在，”他说，“我无时无刻都在思考数学问题”。

    他将几何方法得以应用到代数领域中，被人们称为“代数几何中最深奥难懂的概念之一”。

    除此之外，舒尔茨还在论文里给出了数学家皮埃尔·德利涅（pierredeligne）的一个猜想——weight-monodromy猜想的特殊解法。

    后来，舒尔茨的这一理论被誉为代数几何未来几十年最具潜力的几大框架体系之一。