见过很多地方铺的地砖，这些地砖都有一定的周期性。彭罗斯就研究过地砖的形状和铺设的效果。

    周期性铺陈方式是指你可以描出一个区域的轮廓，通过平移这个区域就可以铺陈整个平面，所谓平移就是在不通过旋转或者翻转的情况下移动这个区域的位置。

    荷兰艺术家埃舍尔因其绘画中的数学性而闻名，作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。

    其中一对毗连的黑鸟和白鸟构成了一个平移铺陈的基本区域。

    只有在铺陈方式为周期性时，你才能在不通过旋转的情况下将这张纸移动到一个新的位置，使得所有轮廓都再次恰好相符。

    彭罗斯认为周期性的铺陈当然好研究，那有没有非周期性的铺陈呢？

    彭罗斯发现，用全同的等腰直角三角形或四边形，很容易将国际象棋的棋盘转换为一种非周期性铺陈方式。

    还有一种不同面积大小，但长宽比例相等的长方形也可以非周期性的铺陈。

    这就带有了螺旋形式了，那么非周期铺陈必须得是带螺旋形式一类的铺陈吗？如果摆脱？

    michaelgoldberg说：“你要是这样想，那我也能把螺旋弄成都是相等的，最后还是周期的，只是单个都是螺旋的摆了，每个螺旋的中心还是一个晶格点阵。哈哈。”

    彭罗斯说：“那也能弄成很多螺旋的，大小不同的，非周期的，而且也能按照更大螺旋的那样摆放。”

    michaelgoldberg说：“你没有摆脱周期和循环的这两种排列方式，看似眼花缭乱，但是本质单一。精明的人还是可以一眼看出。”

    彭罗斯说：“是否存在着一些只能非周期性铺陈的镶嵌片集合？我们说“只能”的意思是，无论是单一的形状或子集，还是整个集合，都不能作周期性铺陈，但是通使用它们全部，就有可能构成一种非周期性的铺陈方式。其中允许进行旋转和翻转。”

    在数十年间，专家们曾相信不存在这样的组合，但是结果证明这种猜想不成立。

    1961年，王浩说：“对于任意一组给定的骨牌，是否能以某种方式铺陈而使得其相邻边都具有相同颜色，铺陈时不允许旋转和翻转。”最后王浩发现王式铺砖。

    这个问题的重要性在于，它与符号逻辑中的决策问题有关。王浩推测，任意一组能够铺陈为平面的镶嵌片都能够周期性地铺陈为平面；他还证明，如果事实确实如此的话，那么就存在着一种这种铺陈的决策方法。

    1964年，伯杰（robertberger）在哈佛大学应用数学专业博士学位论文中证明，王浩的推测不成立。

    不存在任何普遍适用的方法，因此只存在一组只能非周期性铺陈的王氏砖。

    伯杰用两万多块骨牌构造出了这样一个组合。后来他发现了一个小得多的组合，它由104块骨牌构成。

    而高德纳则将这个数字减小到92。

    这样的一组王氏砖很容易转化为只能非周期性铺陈的多边形镶嵌片。你只要将其边缘做成凹凸形以构成一块块的拼图，而它们以先前用颜色规定的方式相配。

    一条先前某种颜色的边只能与另一条先前为同样颜色的边相配，并且对于其他各种颜色也能得出一种相同的关系。

    罗宾逊（raphaelm.robinson）通过允许这样的镶嵌片旋转和翻转，构造出六片从上文所解释的意义上来说强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。

    1977年安曼发现了另一组不同的六片镶嵌片，它们也强制产生非周期性铺陈。

    这种正方形镶嵌片是否能减少到六片以下尚未可知，不过我们有充分的理由相信六就是最小值了。

    1973年，彭罗斯发现了一组六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。

    1974年，他发现了一种将它们减少为四片的方法。此后不久，他又将它们减少到两片。

    关于彭罗斯的宇宙，还存在某种更为令人惊奇的事情。从一种奇特的有限意义上来说，由于受到“局部同构定理”的制约，所有的影罗斯图案都是相似的。彭罗斯证明：任何图案中的每一个有限区域，都包含在所有其他图案中的某处。此外，它在每种图案中出现无穷多次。

    为了理解这种情形有多么狂，请想象你正居住在一个无限大平面上，这个平面由不可数的无穷多种彭罗斯铺陈中的一种镶嵌而成。你可以在这不断扩张的面积上一片一片地检查你的图案。无论你探索多大的面积，你都无法确定自己是处在哪一种铺陈方式上。去往远处以及检查不相连的区域都毫无帮助，因为所有这些区域都属于一个大的、有限的区域，而这个区域在所有图案中都被精确地复制了无穷多次。当然，对于任何周期性镶嵌图而言，这都是显而易见的事实，然而彭罗斯宇宙并不是周期性的。它们有无穷多种方式使得彼此显得不同，却又只能在触不可及的极限上才能将它们彼此区分开来。

    假设你已探究过一个直径为d的圆形区域。我们把它称为你所居住的“镇”。突然之间，你被传送到一个随机选择的平行的彭罗斯世界。你离一个与你家乡的镇里的街道一模一样的圆形区域有多远？康韦用一条超凡卓越的定理给出了答案。从你家乡的镇的边界到那个一模一样的镇的边界的距离，绝不会超过黄金比例的立方的一半的d倍，或者说就是2.11+[译者注：这里的加号（+）表示（1.61803398…）=2.1180399…]乘以d。（这是一个上限，而不是平均值。）如果你朝着正确的方向走，那么你不需要超过这个距离，就会发现自己置身于你自己家乡的镇的精确复制品中。这条定理也适用于你身处的宇宙。每一种大的圆形图案（有无穷多种不同的图案）都可以朝某个方向走过一段距离而到达，这个距离必定小于这个图案直径的大约两倍，更有可能大约就等于该直径。