在此之前丘成桐也考虑了如何用伯格曼核的想法来逼近kahler-einstein度量，如何将卡拉比猜想推广到开流形与有奇点的流形上，并在几篇著名的综述文章中予以详细的阐述。

    与第一陈类小于和等于零的情况相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陈类大于零的情况一直显得颇为迷离。

    首先这类流形有不存在kahler-einstein度量的例子。

    在20世纪60年代，松岛（matsushima）证明了kahler-einstein流形的自同构群必须可约。

    80年代初，福复（futaki）引进了此类流形上存在khler-einstein度量的障碍函数，被称之为福复不变量。

    事实上，很多学者，如卡拉比、福复等都误以为没有全纯向量场应该是kahler-einstein度量存在的唯一必要条件，并没有意识到流形本身稳定的重要性。

    在较特殊的复二维情形，有一些存在性结果，但萧荫堂一直认为，这些结果并不完备，至今也还没有完整的结果。

    此后近30年，田刚一直沿着丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，试图理解正曲率条件下，稳定性与kahler-einstein度量的存在性如何相关，他用福复不变量定义了一个解析稳定性的概念，称为k-稳定性，并取得了一些进展。

    然而这个问题的真正突破来自于唐纳森，他在2001年证明了如果卡勒流形上的卡勒类中存在一个常数量曲率的度量，并且其自同构群是离散的，那么这个流形就是在代数几何意义下是稳定的。唐纳森所用的关健工具恰好是丘成桐考虑过的伯格曼核的逼近方法，他敏锐地观察到伯格曼核渐进展开的第二项正是数量曲率，如果它为常数，则相应的偏微分方程便可解。

    非线性方程虽然难解，但是有一些方法可以让它变得稍微容易处理。

    首先，当面对非线性问题时，我们尽可能援用线性理论。例如，要分析一条弯弯曲曲（非线性）的曲线，我们可以在曲线上任一点，对曲线（或定义它的函数）求导数以得到其切线，这基本上就是曲线在该指定点的“线性逼近”。

    用线性数学来逼近非线性世界是常用的策略，然而宇宙毕竟是非线性的，这一事实当然不会有所改变。要追寻宇宙的真理，我们需要能把几何和非线性微分方程结合起来的技巧。这就是几何分析所做的，而它也对弦论和最近的数学发展极有裨益。

    我们的研究提供了观察如何在非线性系统中发展出奇点的定量73方法，其做法是追踪两点距离如何随时间变化。

    如果这两点发生碰撞，亦即两点间距离缩小至零，那就是奇点了。

    了解奇点几乎是了解任何与热流动相关问题的关键。尤其是，我们的技巧提供了“尽可能逼近奇点”的方法，显示了在碰撞发生之前瞬间的情形，例如各点移动的速度等，就好像鉴识人员要重建车祸的事故现场一样。