a.o.l.阿特金和n.w.里克特于1979年提到孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。

    即两个差等于2的一对素数，称为孪生素数。例如，3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985x2-1和1159142985x2+1；

    陈景润于1966年得到存在无穷多个素数p，使得p+2是不超过两个素数之积。

    为了证明自己的结果，张益唐使用了一种叫k元组（k-tuple）的数学工具来寻找素数。你可以把k元组想象成一把梳子，其中部分梳齿被折断了。如果你从数轴上任意选定的位置开始，沿数轴放置这样一把梳子，那么剩余梳齿将会指向一组数字。

    张益唐的目光集中在一类折断梳子上，其剩余梳齿满足“可容许性”（admissibility）这一整除性质。首先，他证明，任意一把至少有350万个梳齿的“可容许梳子”会在数轴的无穷多个位置上发现至少两个素数。接下来，他展示了如何从一把有7000万个梳齿的梳子出发，通过折断除素数梳齿以外的其他所有梳齿，来得到一把至少有350万个梳齿的可容许梳子。张益唐得出结论，这样一把梳子一定能不断地找到两个素数，且找到的两个素数相差不超过7000万。

    蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔称这一发现是“一个了不起的突破”，“（这）是一个具有历史意义的结果”。

    张益唐的工作包括三个单独的步骤，每一步都为他7000万的上界提供了潜在的改进空间。首先，张益唐引用了一些非常深奥的数学过程来确定素数可能隐藏的位置。接下来，他用这个结果计算出他的梳子需要多少梳齿，才能保证它可以无穷多次地找到至少两个素数。最后，他计算出自己必须从多大的梳子开始，才能在折断到满足可容许性之后还能留下足够的梳齿。

    在张益唐的三个步骤中，最先得到改进的是最后一步。在这一步中，他找到了一把至少有350万个梳齿的可容许梳子。张益唐证明，只需一把长度为7000万的梳子，就能得到这样一把可容许梳子，但他并没有特别努力去尝试缩短这一长度。这其中有很大的改进空间，擅长计算数学的研究人员很快就开始了一场良性竞争，寻找具有给定梳齿数的更小的可容许梳子。

    关于张益唐网友评价很高，甚至有人认为是有史以来最伟大的华人数学家。关于孪生素数猜想老张已经给出了终极性的研究方向，就是不断地缩小这个距离，事实上在陶哲轩的带领下，一群菲尔茨奖获得者集体在为老张“打工”，2，3个月内把这个距离从7千万降到了5414。

    后来，陶哲轩看到张益唐的成果，然后自己也雇了个团队，加班加点把5414继续降低到246，离2越来越近了，但是没有继续往下走。