g.d.伯克霍夫开始研究拓扑动力学。

    扑动力系统topologicaldynamicsystem又称抽象动力系统，是动力系统的一个组成部分。所谓拓扑动力系统，是指拓扑空间(一般是度量空间)上的动力系统。它通常包含流、离散动力系统、半流及离散半动力系统。主要是从拓扑的观点研究系统的不变集的结构及其轨道的性质。从20世纪70年代以来，由于微分动力系统研究的发展和深入，极大地推动了拓扑动力系统，特别是一维连续映射的研究，并取得了相当丰富和重要的成果。

    拓扑动力学，是对运动进行分类的学问。

    这里先分4类：1单个粒子运动的拓扑学；2多个粒子运动拓扑学，多体天体力学；3多粒子集群运动拓扑学，集群遥控或鸟类鱼群运动；4流体拓扑学。

    1）这里先分第一个，单个粒子的运动。

    单个粒子的运动可以先做几个分类。

    匀速直线运动，是亏格为0的运动。

    抛物线运动、匀速圆周运动都是亏格为1的运动。因为都是一个引力造成，而且匀加速直线运动也是1个亏格，因为等价于自由落体运动。这个亏格的洞就是地心，也是产生引力的中心。

    如果是两个力产生的话，就有两个亏格了，这个很容易想到。

    但是这里有个麻烦，就是力的合成会让这个不容易分辨。

    在一个物体某种情况下，受两个引力拉动，会合成一个力，然后会暂时看做是一个亏格的，但是这不长久，因为物体移动的情况下会出现与一个力不同的变加速运动，还是可以看出这个两个亏格的。

    至于三个引力、四个、五个等等就更好考虑的。

    不同亏格之间，就是曲率的不同了，这个很容易想到。

    一个星球的曲率就是单纯的引力场，而两个星球产生的引力场就是两个引力场，就是不同一个引力场的曲率了。

    那么这个粒子在上面的运动状态也可以明显的的表示出来。

    这里比较麻烦的就是复杂曲线的亏格了，需要从曲线上提取多个弧度，这些弧度都是对应不同圆的圆心导致的，这些也是这个曲线的亏格，这个亏格是圆周运动的圆心。

    抛物线的亏格是无穷远点，这个很好像，因为它受力圆心在无穷远点，在不同位置受力都是同一个方向，亏格所在就在那个力指向的方向。

    2）第二个的分类，比较复杂，可以拿二体问题先说说看。

    其实刚刚的一个粒子运动的亏格严格是两个，因为粒子自身带质量，即使手里中心也是施力中心，但是为了简化先看成一个。

    这个二体其实就是为了明确说是两个的。这两个粒子大小相同，排除外界力量，为了简单分析，就考虑相对之间的运动即可。

    直接相互吸引是一个亏格为0的运动。

    相互旋转成匀速圆周运动的理想状态，就是一个亏格为1的运动。

    这里的亏格为1，与静态拓扑体和一个粒子的亏格1的状态是等价的吗？这是一个需要严格探讨的问题。

    想要弄清两个粒子亏格为1的问题，也需要弄清两个粒子亏格为2会是什么样子的。

    假设两个粒子质量完全相等，并且绕对方做匀速圆周运动，那这个1的亏格是在两个粒子连线的质心上的。

    如果这两个粒子不能按照匀速圆周运动的话，那就是一个简单椭圆运动了。这个椭圆就会有两个焦点。这个情况就相当于有两个圆心了，也就是亏格为2的情况了。

    如果是三个亏格，情况就复杂了，我们假设这两个天体在做一个我们看着复杂，但确实一个动态平衡运动的状态。假如这个天体离某三个点距离和是个固定的值，那这个物体就是做复杂椭圆运动了，那亏格为三。

    亏格为三是什么样的双体运动呢？

    这是一个极为只得深思的问题了。

    这可以以亏格为二的双体运动作为出发点。