扎里斯基早年在基辅大学学习时，对代数和数论很感兴趣，在意大利深造期间，他深受三位意大利卡斯泰尔诺沃、恩里克斯、塞维里在古典代数几何领域的深刻影响。

    意大利几何学者们的研究方法本质上很富有“综合性”，他们几乎只是根据几何直观和论据，因而他们的证明中往往缺少数学上的严密性。

    扎里斯基的研究明显带有代数的倾向，他的博士论文就与纯代数数学有着密切联系，精确地说是与伽罗瓦理论密切联系。

    当然也就激发了他在研究方程的时候，也会用到环论这样的思想。

    取得博士学位後，他在罗马的研究工作仍然主要是与伽罗瓦理论有密切联系的代数几何问题。

    一九三七年扎里斯基的研究发生了重要的变化，其特点是变得更代数化了。

    他所使用的研究方法和他所研究的问题都更具有代数的味道〔这些问题当然仍带有代数几何的根源和背景〕。

    扎里斯基对意大利几何学者的证明感到不满意，他确信几何学的全部结构可以用纯代数的方法加以重新建立。

    在一九三五年左右，现代化数学已经兴盛起来，最典型的例子是诺德与范德瓦尔登有关论著的发表。

    范德瓦尔登从这个观点出发把代数几何抽象化，但是只取得了一部分成就，而扎里斯基却获得了巨大成功。

    扎里斯基开始研究如果方程在坐标系里有一种图形，能不能从方程中翻译出拓扑学的一些性质呢？

    对于这个方程来说，也有一种拓扑学的那种洞。

    而这个洞，必须是一种无穷大那样的奇点。

    最简单的奇点是通常二重点，还有尖点，迷向点，ade奇点（确切地说这是曲面奇点，但是它可以对应成曲线奇点）

    他的博士论文主要是把所有形如f(x)-tg(x)=0的方程分类，这里面f和g是多项式，x可以解为线性参数t的根式表达式。扎里斯基说明这种方程可分为五类，它们是三角或椭圆方程。

    ade奇点就是代数曲面上的有理二重点，它可以通过奇点解消的方式爆发成为ade曲线。

    ade奇点有五种类型：

    a_n型：对应方程z^2=x^2+y^n

    d_n型：对应方程z^2=y(x^2+y^)（n≥4）

    e_6型：对应方程z^2=x^3+y^4

    e_7型：对应方程z^2=x(x^2+y^3)

    e_8型：对应方程z^2=x^3+y^5

    任何ade奇点都是超曲面奇点，也是循环商奇点。它们的有理典范除子是零，重数是2。

    除此以外有无穷大点，不连续的拐折点。

    为了严格下定义，扎里斯基认为方程等于0，x一阶导等于0，y一阶导为0，就可以称之为奇点了。

    如果f(x，y)的泰勒展开中不包含一次项的话，否则就称该点是光滑点。

    换句话说，我们幂级数展开f(x，y)=ax+by+cx^2+dxy+ey^2+高次项，如果a和b不全为零，那么该原点就称为c的光滑点，否则就称为奇点。

    一个带有奇点的平面曲线c必定是某个射影空间中的光滑曲线c‘到射影平面的投影。找出这样的光滑曲线c‘的过程，称为c的奇点解消或者正规化。

    曲线奇点有很一些有趣的不变量来刻画，比如它的重数（就是泰勒展开式中最低项的次数），局部分支数，几何亏格，milnor数等等。

    这些不变量之间有着一定的联系，对它们的研究属于奇点拓扑这一分支。

    扎里斯基对莱夫谢茨说：“我听了你的代数几何的拓扑问题后，想到让方程的拓扑学体现出来，就可以从代数簇中直接进行。代数簇的思想，不就是所有的方程本来都是多项式，而多项式仅仅有加法和乘法。就相当于是代数簇在做很多加和乘的运算来组成各种曲线，那么就是环的作用而形成曲线。代数几何的问题也就是交换环的理想的问题。”

    莱夫谢茨说：“那你要是研究方程的拓扑性质，就从环这个结构开始就行了。”

    扎里斯基知道这些方程不需要在坐标系里定位，所以用了仿射空间，或者叫线性空间，只需要表示他们的形状就行。

    仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

    然后扎里斯基的工作就是把这些方程变成拓扑结构了。

    在一九二七至一九三七年间，扎里斯基给出了关于曲线c的经典的黎曼-罗赫定理的拓扑证明，在这个证明中他引进了曲线c的n重对称积c(n)来研究c上度数为n的除子的线性系统。

    在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。

    扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。

    他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定p外不是正则的，那么p的像的各个分支的维数大于等于一。”由此阐明了双有理对应的性质。

    对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。

    一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。

    域k上的不可约代数簇v，如果它的函数域上k上是纯绍越的，就称为一个有理簇。

    扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面s是有理的一个充分必要准则。

    这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。

    关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设l为代数闭域k上两变量有理函数域k(x，y)的子域且包含k，如果k(x，y)在l上为可分代数的，那么l是k上的二元有理函数域。

    在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。

    关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。

    他还引进正规簇和正规化的概念，并应用于线性系、双有理变换及代数对应等理论中。

    关于诺德环，他得出：若半局部整环r是一个域上的有限生成环的商环，则r是解析非分歧的，若r还是正规局部环，则r是解析正规的。

    他还指出，即使以更一般的理想的幂引入拓扑，一切理想仍是闭集。

    在关于局部一致性的研究中，扎里斯基导入了代数簇v上的拓扑，现在称为扎里斯基拓扑。在这个拓扑中v的闭子集就是v的代数子簇。

    在一九四九至一九五一年间，他发展了在簇v上的全形态方程以及在簇v的代数子簇上这种方程的解析连续性的半球理论，这个理论使他能够给出一个新的、严密的对退化原理和恩里克斯连续定理的证明。一九五〇年他还发展了局部环论。

    一九六四至一九七八年间，扎里斯基主要关心两个新理论的发展：在簇v上的等奇异性理论和饱和性理论。

    等奇异点簇。

    从古典几何到现在，奇异的等效性只在代数曲线上有定义。因此，只能对w具有维数r-1而v具有维数r的情形下发展一个完全的关于等奇异性的理论。

    扎里斯基和其他美国和外国数学家〔特别是法国数学家〕後來致力于发展一个具有任何维数的簇v和其子簇w的等奇异性的可能性的一般理论。

    饱和性理论在某种意义上是等奇异性理论的特殊情况。

    这个理论是已经在w上等奇异性的v建立一个在最小意义下的等奇异性的标准，即它是在w上的解析乘积。

    扎里斯基关于饱和性的一般定理的证明为这个标准提供了依据。

    扎里斯基对极小模型理论也作出了贡献。

    他在古典代数几何的曲面理论方面的重要之一，是曲面的极小模型的存在定理〔一九五八年〕。

    它给出了曲面的情况下代数-几何间的等价性。

    这就是说，代数函数域一经给定，就存在非奇异曲面〔极小模型〕作为其对应的“好的模型”，而且射影直线如果不带有参数就是唯一正确的。

    因此要进行曲面的分类，可考虑极小模型，这成了曲面分类理论的基础。

    具有仿射结构的集合就是一个仿射空间。

    从a的扎里斯基拓扑就可诱导得代数簇的扎里斯基拓扑。

    扎里斯基对代数几何做出做出了重大贡献。

    代数几何是研究关于高维空间中由若干个代数方程的公共零点所确定的点集，以及这些点集通过一定的构造方式导出的对象即代数簇。

    从观点上说，它是多变量代数函数域的几何理论，也与从一般复流形来紧密地结合起来。

    从方法上说，则和交换环论及同调代数有着密切的联系。