路易斯·弗莱·理查森在1951年发现了海岸线悖论。

    他在试图计算两个国家因共享边界而发动战争的可能性时发现了这种现象。在研究各种出版作品时，他注意到国际边界长度的差异，特别是西班牙和葡萄牙之间以及荷兰和比利时之间的差异。

    理查森发现了影响海岸线大小的悖论，这取决于使用的尺度。

    他发现，当使用更小的尺度时，海岸线的大小会趋向于无限大。

    benoitmandelbrot后来扩展了richardson的观点来解释海岸线悖论。在建立计算自然界物体粗糙度的公式的过程中，曼德布洛特发现了分形。分形是一个抽象的对象，它具有自相似的模式，随着你的放大，它变得更加复杂。因此，确定分形的长度成为一项不可能的任务，只能进行估计。海岸线带来了这样的挑战，因为你放大的越多，不一致会成倍增加，无法确定它们的实际长度。分形很常见，包括山脉，植物和海岸线。他们在大自然中的存在，特别是在海岸线的情况下，加强了地球的不可约性以及不是一切都可以确定的事实。

    由于侵蚀、海平面上升和潮汐的影响，世界的海岸线在不断变化。这些，加上测量海岸线的数学复杂性，使得确定海岸线的实际长度变得更加困难。其他特征如峡湾和海岸线的粗糙度增加了测量海岸线的难度。

    海岸线悖论给制图者和研究人员带来了很大的挫败感，他们不能准确地确定海岸线的大小。正因为如此，建立了对这些海岸线大小的估计的标准。这些标准包括1990年从华盛顿自然资源部(washingtondepartmentofnaturalresources)获得的海岸线，该部门用低空飞行的飞机测量海岸线。所做的估计是一个可管理的数字，而不是使用抽象的定义，如无穷大。然而，这些标准化也存在误差范围，与实际海岸线相比，有时会产生相当大的测量差异。

    芒德布罗对理查森说：“这个问题不能解决吗？测量海岸线的问题。”

    理查森点点头，肯定道。

    芒德布罗说：“一根直线，你把它的尺度放大，测量它的尺寸是不会变化的。”

    理查森说：“肯定呀，我们知道这必须是个直线。”

    芒德布罗说：“圆形，你放大了，它还是圆形。”

    理查森说：“废话，直线和圆这两个形状是规定好了的，我们必须知道他们就是那个形状。而海岸线是一堆石头，而且石头都是不是平滑的，所以才会越小，尺寸会变得越大。”

    芒德布罗对理查森说：“是呀！我只是想要知道，是不是无线增大的话，就会趋近于无限大？”

    理查森说：“好像是的！我每想过这个问题。”

    芒德布罗说：“对海岸线石头的认识，我们没有太深刻，你假定的是它们不断的放大，就会出现不规则的拐折，但没有问过石头的拐着到底是不是不规则的。”

    理查森说：“你这话说得，意思是要是规则了？长度还会有一个收敛值？”

    芒德布罗点点头，认为就是这个意思。如果是个自相似的一种分型，也许会像可以收敛的级数一样收敛起来，那么长度可以确定了。

    理查森说：“难说难说，且不谈就算一种特定形状收敛后，那测出的长度是匪夷所思的长，避免不了一个石头的边缘的长度是一个太阳系的直径。那也得是极其特定的形状，否则就算是自分形，也十有八九会发散。而且非自分形的随机形，肯定是发散了。”

    芒德布罗说：“你也不能担保非自分形的，肯定是发散的，也许我们可以使用某种概率论统一某些随机分形。而且非自分形的也不见得就是随机形，也许还要非随机的其他的非自分形呢。”

    理查森无奈的说：“好吧，我们不要再争论了，这样的问题一直会没完没了的。”