就凭开创类域论这一项成就，高木贞治就足以站在这个位置。

    类域论是现代数论的中心，研究数域上阿贝尔扩张的理论，如今已经渗透到数学各个分支，构造类域的世纪难题，依然是当今数学的最重要的中心之一。

    高木贞治是日本现代数学最重要的开创者和祖师爷，早年游学德国，回日本后培育了整整一代的日本数学家！可以说，高木贞治大师是现代日本数学的真正意义上的开创者。

    高木贞治的伟大成就，经他教育传承下，奠定了日本代数，数论学派的深厚传统，时至今日，日本仍然是世界抽象代数、代数数论研究的重镇。

    高木贞治知道阿贝尔的扩张论，对伽罗瓦解释数域的扩张，和高次方程无解的理论都有很大的帮助。

    阿贝尔扩张是一类重要的域扩张，设k是域f的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群g(k/f)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，k称为f上阿贝尔扩域。

    但高木贞治认为，属于的扩张可以已经基本的算数运算，在算数运算的扩张可以看看数字可以饱满到什么程度。

    高木贞治对小平邦彦说：“人类是怎么定义数字的？会不会不讲究啊！”

    小平邦彦说：“你指的是自然数？那皮亚诺公理不是从新定义了吗？规范了呀。”

    高木贞治说：“只能说自然数或者是整数还勉强的符合群论或者环论的一些东西，其他的小数、无理数、超越数恐怕就难以用群、环、或者交换环或者是伽罗瓦的扩张来得到了，来自人的灵性而已吗？”

    小平邦彦说：“发现如此之多的数学工具，不就是为了重新规范这些已经存在的有用的各种数字嘛，这点类也受不起？”

    高木贞治说：“如果是1用皮亚若公里扩展到自然数，在加个加法交换性得到负数，乘法交换性和商群得到小数，然后加个i扩展到复数。但来个非交换的矩阵，说实话，不太能吃得消。你说一下，你顶得住非交换的东西嘛？”

    小平邦彦说：“但数学中普遍存在呀！”

    高木贞治说：“任何一个人都不喜欢不对称的，也不喜欢非交换的，所谓此刻的非交换，也只是为了下一次的巨大的交换做准备的，所以任何一种域，都可以用阿贝尔扩张出来。”

    小平邦彦说：“胡说，你喝多了吧！”

    高木贞治说：“非但没有，我还要跟你死磕到底，咱们要来个这个世界上有没有非交换的东西来掰扯一下。”

    小平邦彦说：“有非交换的，很多矩阵就是。”

    高木贞治说：“幼稚，那些矩阵我可以还原出一些原型，改造成可以交换的易如反掌。”高木贞治开始写出了一个矩阵，然后再周围加了一圈零。对小平邦彦说：“你看看，这不就改造成交换的了吗？”

    小平邦彦说：“你加了0，那就不是原来的矩阵了。”

    高木贞治解释道：“谁说的？你眼里就是什么2乘2阶，3乘3阶矩阵。那是你每看透，都是无穷阶的，其中只有2乘2阶，3乘3阶有非零的数字，其他都是0而已，每个矩阵阶数相等，都是无穷乘无穷阶的。”

    小平邦彦说：“你太突破传统了，我不太能接受你那个所谓的简写0的矩阵这个说法，即使你耍赖，我还能找到很多的非交换的东西。”

    高木贞治笑说：“一样的，即使是操作模仿，我也能把模仿弄成个其他东西，即使旋转三角形那些，也是一样，我都可以给你变变。最终你发现，你找不到非交换的东西。”

    小平邦彦说：“照你这么说，数学都是交换的，岂不是更容易统一了？大喜事呀！”

    高木贞治说：“不完全对，即使世界上任何一个东西都是由一个简单的元交换出来的，但是这个交换过程极其繁琐，是一大堆的逻辑符号，就算用范畴论的语言都需要写好几页呢。”

    小平邦彦无语：“那还不如非交换呢，把非交换弄简单点，不也可以操作嘛！”

    阿贝尔感觉到，关于数论中同余的问题，往往就会关联有限群。

    这是不可避免的。

    只要以规范，就会让其得到大面积惊人的使用。

    比如二律互反等一类的数论问题，在有限域这种地方也能用得着。

    那么近下来，让大家接受有限数域，就是最终于的问题了。

    对于此，阿贝尔扩张就是关于这个问题的研究的，同时后人有循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张。

    对于分圆扩张，克罗内克发展了克罗内克的青春梦。

    而高木贞治，解决了克罗内克青春梦猜想。

    类域论就是研究怎样用k的元素来描述k的所有阿贝尔扩张的问题。

    1920年日本数学家高木贞治完成了类域论的最早突破：对于每个扩张k，都对应k中的一个对象t（k），即k的理想类群在某一等价关系之下的一个等价类。

    高木描述了这些t(k)的集合，而且每一个t（k）都刻划k的唯一的阿贝尔扩张k，并且k的代数及算术性质可由t(k)直接推出。

    对这个漂亮的定理，高木给出的证明非常繁复，中间还要用到解析的方法，但其中起主要作用的是定义狄利克雷l级数。

    之前几百年，高斯发现了二次互反律的多种证明。

    1920年，高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张理论，和类域论。

    后来阿廷发现了阿廷互反律。

    从中发现了在数论、群论和代数几何之间的相互联系。

    同余代数，对于椭圆曲线与模形式。

    而模形式对应艾森斯坦级数。

    所以二律互反对于级数，一般级数使用狄利克雷的l级数来表示的。

    阿廷就发现了这个东西，后来推广到阿廷互反律。