2021年2月22日，数学家gilesgardam在网上进行了一场长达一个多小时的演讲，演讲的内容是与k理论有着深厚渊源的单位猜想。

    这个猜想是一个基本却又令人困惑的代数问题，自被提出以来，已经困扰了数学家80多年之久。

    1940年，英国数学家格雷厄姆·希格曼（grahamhigman）在他的博士论文中提出了单位猜想和零因数猜想；

    1956年，20世纪最杰出的数学家之一欧文·卡普兰斯基（irvingkaplansky）在一份演讲报告中提到了零因数猜想；

    到了1970年，卡普兰斯基在一篇题为《环理论的问题》的论文中，正式提出了单位猜想和零因数猜想。

    现在，单位猜想与零因数猜想和幂等猜想被统称为卡普兰斯基猜想。

    在卡普兰斯基的努力下，这些猜想受到了更多的关注。

    但一直以来，这些猜想都仍处于未决的状态。

    在近期的这场演讲中，gardam介绍了单位猜想的发展史，以及与零因数猜想和幂等猜想有关的一些信息。

    在演讲的最后时分，他突然告诉大家：“现在是时候告诉大家一些新东西了——单位猜想实际上是错误的。”

    消息一出，便引起了许多数学家的注意，因为卡普兰斯基猜想与邻近数学领域的一些其他问题有关

    单位猜想涉及到群论中的大量知识。

    群论研究的是那些定义了可逆结合的乘积运算的集合。

    一个能够被称为群的集合，需要在其乘法运算的表现是正确的情况下，还满足两个额外的要求：一是集合中必须包含一个这样一个特殊元素（通常被标记为“1”），当它与其他元素相乘时，其他元素能维持不变；二是每个元素g都必须有一个乘法逆元（写作g），且当它与g相乘时等于1（gxg=1）。

    单位猜想所探讨的问题是：在一个代数结构族中，有哪些元素具有乘法逆元？不过它所考虑的并不是普通数字的乘法逆元，而是群代数（一种将数字系统与一个群结合起来的结构）中的元素的乘法逆元。

    在许多方面，群代数中的元素与多项式很类似，只不过它们之间存在一个关键区别：对于多项式来说，当两个多项式相乘，有些项可能会相互抵消，但指数最高的那项中总会留下，比如(x-1)(x+1)=x+x-x-1，互相抵消的是x和x，x仍然存在；但在群代数中，群的元素之间的关系可能导致一些其他的难以预测的抵消。

    举个例子，假设有一个群是字母“a”的对称变换的集合，这个群只有两个元素：一是让每个点都维持在原有位置的转换（即“1”）；二是通过中央垂直轴进行的两次反射（记为“r”），反射两次会使每个点都复原到原来的位置，rxr=1。

    在这种情况下，如果将r+2与r/3+2/3相乘，那么会发现几乎所有的项都抵消了，只留下了1。

    于是乎r+2和r/3+2/3是一对乘法逆元。

    在1940年，希格曼提出一个大胆的猜想，他认为在群代数中，这种所有项都全部抵消的情况，只在用于构造群代数的群包含某些幂等于1的元素时才会发生。

    他提出，在所有其他群代数中，只有最简单的元素才有乘法逆元，即只含一项的元素（如3x）可以具有乘法逆元，具有多个项的和（如r+2）的元素不具有乘法逆元。

    卡普兰斯基呼吁更多数学家来关注这个猜想，他将单位猜想与零因子猜想和幂等猜想打包在一起并进行了推广。

    再后来，有人将强大的代数k理论引入其中，这使一些数学家得以为零因子猜想和幂等猜想提供一些证据，但对单位猜想始终无能为力。

    在很长一段时间里，数学家既不能证明这个猜想，也不能找到其反例。

    许多数学家都已经放弃了这三个猜想，将证明或推翻它们都视为无望之事。直到现在。

    gardam通过在由一种特定三维晶体形状的对称性构成的群代数中，发现了不同寻常的“单位”，他在这个群代数中发现了具有乘法逆元的元素，因而证明了单位猜想是错误的。

    在一篇于2月25日向arxiv提交了一篇文章，gardam简单描述了他通过利用三维晶体形状的对称性结构，找到了单位猜想的一个反例。

    在gardam的证明中，他用到了一个简单的被称为hantzsche-wendt的群，这个群描绘了一种被物理学家认为是宇宙形状的可能模型的对称性，而这种形状是通过将三维晶体的侧面粘合起来而建立的。

    hantzsche-wendt群是一个无限群，即使对于群代数中的简短的和，也存在无限多种可能性。

    在2010年，有数学家证明，即使在hantzsche-wendt群中存在单位猜想的反例，也不会存在于最简单的求和之中。

    gardam由hantzsche-wendt群建立的群代数中，找到了一对分别具有21项的乘法逆元。

    找到这一对乘法逆元需要计算机进行大量的复杂搜索，但验证它们是否是一对乘法逆元则并不困难，只需将它们相乘，再检查得到的441项乘积是否可以简化为1。

    对于成功找到的这一反例，gardam表示，这更多的是一个概念性的证明，虽然目前无法预知这个反例将如何影响其他卡普兰斯基猜想，但这表明了研究这个问题并非无望之事。

    目前，gardam还尚未公布他的算法细节，一旦公布，其他数学家或许就找到更多的反例。

    有数学家推测，或许在不不久的未来，我们就将找到无数个反例。

    接下来，留给数学家的任务将是理解gardam的复杂单位背后的原理。