柯尔莫哥洛夫将概率论做了根本性的修正。他所使用的是一种由法国传入的名为测度论。

    测度论将长度、面积、体积等概念泛化，使得无法被常规方法测量的数学对象可能被测量。例如，一个有无限多个孔的正方形，被切割成了无穷多份并散落在了无限的平面中，借助测度论我们仍然可以表示出这个七零八碎的物体的“面积”（测度）。

    1933年，柯尔莫哥洛夫的专著《概率论的基础》出版，书中第一次在测度论基础上建立了概率论的严密公理体系。

    学生格涅坚科看到了柯尔莫哥洛夫的概率公理体系，一共就三条。

    1.一个事件的概率大于等于零。

    2.至少一种可能的结果发生的概率为1。

    3.如果两事件不可能同时发生，那么这两个事件其中有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和。

    格涅坚科说：“老师，为什么要弄这三条公理？起来很简单呀，有什么了不起的？”

    柯尔莫哥洛夫说：“概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始建设，和几何、代数的路一样。”

    格涅坚科说：“我想知道，你这里有什么特殊的改变？”

    柯尔莫哥洛夫说：“我引入了概率测度。”

    格涅坚科说：“测度代表的是研究集合的“大小”和“面积”的，怎么用在概率中的？”

    柯尔莫哥洛夫说：“我的这三个公理规定了有界性、规范性和有限可加性，分别跟三个公理的第一二三条对应。因为现代的数学都是以集合论为基础的，所以概率也需要用集合论的语言来描述。”

    大圆悖论（theparadoxofthegreatcircle）就是通过柯尔莫哥洛夫的概率论得以解决的。大圆悖论是说，假设有外星人会随机降落到一个完美的球形星球上，且降落到每个点的概率也都是平均的，这是否意味着所有球体的大圆（greatcircle，即过球心的平面和球面的交线，把球体分成了两个相等的半球）上的降落概率都是一样的呢？

    其结果是，对于赤道所在的大圆而言，圆上每个点的概率是均等的。而对于经线来说，靠近赤道的点概率大，靠近两极的点概率小。

    这一发现或许可以用越靠近赤道纬度圈越大来解释。

    但是，这种结果与我们的直觉相违背，因为对于一个完美的球体而言，通过旋转，赤道可以变成任意一条经线。

    柯尔莫哥洛夫认为，大圆是一条线段，面积是零，因此测度为零。这一悖论的矛盾之处就在于我们无法严格计算相关的概率。